Probleme de matematică

Problema rezolvată #23 – ONGM 2020-2021

Anca

Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a IX-a la ONGM 2020-2021.

Enunț

Dacă f:N→ N este o funcție cu proprietatea că:

f(x3+f(y))=x⋅f2(x)+y,(∀)x, y∈N f(x^3 + f(y))=x\cdot f^2(x)+y, (\forall)x, \ y \in \mathbf{N}

Atunci numărul f(2021) este egal cu:

A. 2020        B. 2021        C.2022        D. 0            E. 1
Rezolvare
 Daca˘ x = 0 observa˘m ca˘: f(0+f(y))=0⋅f2(0)+y  ⟹    ⟹  f(f(y))=y,(∀) y∈N.\textbf{ Dacă x = 0 } \text{observăm că: }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad\\ f( 0 + f(y))= 0\cdot f^2(0)+y\implies \\ \implies f(f(y)) = y, (\forall) \ y \in \mathbf{N}. \qquad
 Fie z∈N a.ıˆ. f(z)=0  ⟹  ∘f  ⟹  ∘ff(f(z))=f(0)  ⟹    ⟹  f(0)= z  f(z3)=z⋅f2(z)+z  ⟹    ⟹  f(z3)=z⋅0+z  ⟹    ⟹  f(z3)=z  ⟹  ∘ff(f(z3))=f(z)  ⟹    ⟹  z3=f(z)  ⟹  z3=0  ⟹    ⟹  z=0  ⟹  f(0)=0  ⟹    ⟹  f(x3)=x⋅f2(x),  (∀)x, ∈N  f(13)=1⋅f2(1)  ⟹    ⟹  f(1)=1⋅f2(1)  ⟹    ⟹  f2(1)−f(1)=0⇔⇔f(1)⋅(f(1)−1)=0 \text{ Fie } z \in \mathbf{N} \text{ a.î. } f(z) = 0 \overset{\circ f} {\implies} \\ \overset{\circ f}{\implies} f(f(z))= f(0) \implies\\ \implies f(0)= \ z \\ \; \\ f(z^3)=z\cdot f^2(z) + z \implies \\ \implies f(z^3) = z \cdot 0 +z \implies \\ \implies f(z^3) = z \overset{\circ f}{\implies} f(f(z^3)) = f(z) \implies \\ \implies z^3 = f(z) \implies z^3 = 0 \implies \\ \implies z = 0 \implies f(0) = 0 \implies \newline \newline \implies f(x^3)=x\cdot f^2(x), \ \ (\forall)x, \ \in \mathbf{N}\\ \;\\ f(1^3) = 1 \cdot f^2(1) \implies \\ \implies f(1) = 1 \cdot f^2(1) \implies \\ \implies f^2(1) - f(1) = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow f(1)\cdot (f(1) -1) = 0 \newline \newline
 Vom analiza doua˘ cazurif(1)=0 și f(1)−1=0 \textbf{ Vom analiza două cazuri} f(1) = 0 \textbf{ și } f(1) -1 = 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
Dacă f(1) = 0
f(1)=0  ⟹  f(f(1))=f(0)  ⟹    ⟹  f(0)=1 imposibilf(0)=0f(1) = 0 \implies f(f(1)) = f(0) \implies \\ \implies f(0) = 1 \text{ imposibil} f(0) = 0
Dacă f(1) – 1 = 0
f(1)−1=0  ⟹  f(1)=1  f(2)=f(1+f(1))=1⋅f2(1)+1  ⟹    ⟹  f(2)=1⋅1+1  ⟹  f(2)=2f(1) - 1 = 0 \implies f(1) = 1\\\;\\ f(2) = f(1 + f(1)) = 1\cdot f^2(1) + 1 \implies \\ \implies f(2) = 1 \cdot 1 + 1 \implies f(2) = 2

Vom folosi inducția matematică. Am observat că f(0) = 0 și f(1) = 1, presupunem că f(n) = n și arătăm că f(n+1) = n+1.

f(n+1)=f(1+n)=f(13+n)f(x3+f(y))=x⋅f2(x)+y}  ⟹      ⟹  f(13+n)=1⋅f2(1)+n  ⟹  f(1)=1    ⟹  f(1)=1f(1+n)=1⋅1+n  ⟹      ⟹  f(n+1)=n+1  ⟹      ⟹  f(n)=n, (∀)n, ∈N  ⟹      ⟹  f(2021)=2021. \left . \begin{array}{ll} f(n+1)= f(1+n) =f(1^3+n) \\ f(x^3 + f(y))=x\cdot f^2(x)+y\\ \end{array} \right \} \implies \\\;\\ \implies f(1^3+n) = 1 \cdot f^2(1) + n \overset{f(1) =1}{\implies} \\\;\\ \overset{f(1) =1}{\implies}f(1+n) = 1 \cdot 1 + n \implies \\\;\\ \implies f(n+1) = n+1 \implies \\\;\\ \implies f(n) = n, \ (\forall)n, \ \in \mathbf{N} \implies \\\;\\ \implies f(2021) = 2021.

Răspunsul este B, 2021.

[the_ad_group id=”102″]

Pe aceeași temă

Probleme de matematică

Problemă rezolvată #42 – geometrie problemă cu romb

Anca
Probleme de matematică

Problemă rezolvată #41 – pregătire evaluare națională să se găsească numărul xyz

Anca