Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a IX-a la ONGM 2020-2021.
Enunț:
Dacă (an)n≥1, este o progresie aritmetică pentru care a2+a6+a10+a14=80, atunci numărul S15=a1+a2+a3+…+a15 este egal cu:
A. 32 B. 60 C. 120 D. 225 E. 300
Rezolvare:
(an)n≥1, este o progresie aritmetică, fie a1 primul termen al progresiei aritmetice și r rația progresiei aritmetice, atunci:
a_n=a_1+(n-1)\cdot r\;, n \ge 1
Deci vom avea :
a_2=a_1+r\\\;\;\;\;a_6=a_1+5\cdot r\\\;\;\;a_{10}=a_1+9\cdot r\\\;\;\;\;\;a_{14}=a_1+13\cdot rSuma S15 poate fi scrisă astfel:
\newline\newline S_{15} = a_1 + a_2 + a_3+... + a_{15} \implies \\\;\\\implies S_{15} = a_1 + a_1+r + a_1+2\cdot r +...+ a_1+14\cdot r \implies \\\;\\ \implies S_{15} = 15 \cdot a_1 + r \cdot (1+2+...+14) \overset{Suma\; lui \;Gauss}{\implies} \\\;\\ \overset{Suma\; lui \;Gauss}{\implies} S_{15} = 15 \cdot a_1 + r \cdot \frac {14\cdot15}{2} {\implies} \\\;\\\implies S_{15} = 15 \cdot a_1 + r \cdot 7 \cdot 15 {\implies} \\\;\\ \implies S_{15} = 15 \cdot (a_1 + r \cdot 7) \newlineȘtim că a2+a6+a10+a14=80.
\displaystyle{ a_2 + a_6 + a_{10} + a_{14} = 80} \implies \\\;\\ \implies
a_1+r + a_1+5\cdot r + a_1+9\cdot r+ a_1+13\cdot r = 80 \implies \\\;\\ \implies 4\cdot a_1 +r \cdot(1+5+9+13)=80 \implies \\\;\\ \implies 4\cdot a_1 +r \cdot28=80 \implies 4\cdot( a_1 +r \cdot7)=80 \implies \\\;\\ \implies a_1 +r \cdot7=20Putem acum să aflam valoarea lui S15 astfel:
S_{15} = 15 \cdot (a_1 + r \cdot 7) \implies S_{15} = 15 \cdot20 \implies S_{15} = 300Răspunsul corect este E.
[the_ad_group id=”102″]
