Numărul \overline{xyz} = \overline{xy} +\overline{yz}+\overline{zx} .
a) Este posibil ca cifra x sa fie egală cu 2 ? Justifică răspunsul.
b) Determină numărul \overline{xyz} care îndeplinește condiția din enunț.
Pentru că x,y, z sunt cifrele unui număr avem următoare condiție x,y, z \in \N, 0 \leq x,y,x \leq 9
Această problemă cu logaritm a fost propusă în grupul MATE PENTRU TOȚI
a) Dacă cifra x ar fi 2 atunci am avea:
\overline{2yz} = \overline{2y} +\overline{yz}+\overline{z2} \iff\\[2em] \iff200 = \overline{2y} + \overline{z2}
Dar din y,z \leq 9 avem
\begin{rcases}
\overline{2y} \leq 29 \\[1em] \overline{z2}\leq92
\end{rcases}⇒\overline{2y} + \overline{z2} \leq 121Însă 121 < 200 ceea ce face ca x să nu poata fi 2.
b) Vom considera scrierea numărului în baza zece:
\overline{xyz} = x\cdot 100 + y\cdot 10 +z \\[1em]
\overline{xy} = x\cdot 10 + y \\[1em]
\overline{yz} = y\cdot 10 +z \\[1em]
\overline{zx} = z\cdot 10 +x \\[1em]
Deci ecuația devine:
x⋅100+\cancel{y⋅10}+\cancel{z} = x\cdot 10 + y + \cancel{y\cdot 10} +\cancel{z}+ z\cdot 10 +x\iff \\[1em]
\iff x \cdot 100 = x\cdot 10 + y +z\cdot 10 +x\iff \\[1em]
\iff x \cdot 100 -x\cdot 10 -x = z\cdot 10 + y \iff \\[1em]
\iff 89\cdot x = z\cdot10 + y
Ne folosim din nou de faptul ca z și y sunt cifre și 0 \leq y,z \leq 9 deci 0 \leq z\cdot10 + y \leq 99 :
0 \leq z\cdot10 + y \leq 99 \iff 0 \leq 89\cdot x \leq 99 \iff\\[2em] \iff0\leq x\leq1
De obicei se considera x diferit de 0 implicit dacă ar fi specificat că numărul are 3 cifre. Vom analiza și acest caz deoarece nu este specificat acest lucru în enunț astfel deci vom analiza două cazuri x= 0 și x = 1:
Pentu x = 0 avem z\cdot10 + y = 0 implica z = 0, y = 0 deoarece avem o sumă de temeni pozitivi care adunați dau 0, deci fiecare dintre ei trebuie să fie 0.
Pentu x = 1 avem z\cdot10 + y = 89 . Dar y \leq 9 :
y \leq 9\iff -9 \leq -y \iff89 -9 \leq89 -y \iff \\[2em]\iff80 \leq z\cdot10 \iff\\[2em]8\leq z
Cum z este cifră, singurele valoare posibile pentru z vor fi 8 și 9.
Dacă z = 8 obținem 80 + y = 89 deci y = 9, iar numărul va fi 198
Dacă z = 9 obținem 90 + y = 89 deci y = -1 valoare care nu convine, y fiind cifră.
Deci numerele căutate vor fi 0 si 198.
Să nu uităm să facem proba.
Pentru x = 0, y = 0, z = 0 este evident.
Pentru x = 1, y = 9, z= 8 avem : 198 =19 + 98 + 81 care este adevărată 189 = 189.
