Ca orice măsură fizică un unghi este egal cu măsura sa înmulțită cu unitatea de măsură aleasă. Deoarece în practică se folosesc diferite unități de măsură pentru unghiuri (și arce de cerc): grade sexagesimale, radiani sau grade centesimale este necesar să știm să convertim dintr-o unitate de măsură în alta. Astfel transformarea gradelor în radiani și a radianilor în grade este esențială în matematică, fizică, astronomie si nu numai deoarece facilitează o conversie precisă și flexibilă a unghiurilor, adaptabilă diferitelor contexte și probleme.
Ce sunt gradele sexagesimale și radianii?
Gradele sexagesimale sunt o unitate de măsură a unghiurilor bazată pe împărțirea unui cerc complet în 360 de părți egale. O astfel de parte se numește grad și are simbolul °. Un grad este împărțit în 60 de minute; un minut este notat cu simbolul ′. Un minut este împărțit în 60 de secunde; o secundă este notată cu simbolul ″. Acest sistem de măsurare permite o precizie mare în descrierea și utilizarea unghiurilor.
La baza împărțirii gradelor în 60 de minute si minutelor in 60 de secunde stă sistemul de numerație sexagesimal (în baza 60) folosit de Babilonieni în calculele lor matematice și astronomice. Acest sistem a fost preluat de matematicienii greci influențând astfel modul în care unghiurile au fost măsurate ulterior. În lucrările matematicienilor greci ca Hipparchus și Ptolemeu găsim o divizare a cercului în 360 de părți egale. Mai multe informații despre felul în care au fost folosite aceste valori de-a lungul timpului puteți găsi în articolul Funcțiile trigonometrice din antichitate până în era modernă.
Radianii, pe de altă parte, oferă o abordare mai “naturală” a măsurării unghiurilor. Un radian este definit ca unghiul la centru care subîntinde un arc de cerc având lungime egală cu lungimea razei cercului. Astfel un arc de cerc având lungimea egala cu lungimea razei cercului corespunde unui unghi de un radian. Un cerc complet corespunde unui unghi de 2π radiani.
Simbolul pentru radian este rad și face parte din Sistemul Internațional. Acest simbol nu apare efectiv scris in matematică. Dacă în exprimarea măsurii unghiului apare simbolul π se presupune că măsura unghiului este exprimată în radiani.
Conceptul de radian, deși implicit utilizat în lucrările matematicienilor antici, a fost formalizat abia în secolul al XVII-lea. Radianul ca unitate de măsură pentru unghiuri a fost introdus de Roger Cotes în lucrările lui și preluat de Leonhard Euler. Totuși, denumirea de „radian” a fost introdus abia în 1873 de James Thomson. Utilizarea sa a devenit standard în matematică și inginerie datorită modului natural și eficient de a relaționa lungimea unui arc de cerc la raza sa.
De ce să facem conversia gradelor în radiani ?
Transformarea gradelor în radiani nu este doar o necesitate academică, ci și o cerință practică. Gradele și radianii sunt două unități de măsură fundamentale pentru unghiuri, fiecare având aplicații preferate în diferite contexte în funcție de convenție, precizie și tradiție. În timp ce gradele oferă o metodă accesibilă și ușor de înțeles pentru măsurarea unghiurilor în viața de zi cu zi și în aplicațiile practice, radianii sunt esențiali pentru analiza matematică riguroasă și pentru descrierea fenomenelor fizice în termeni preciși.
Gradele sunt adesea folosite în navigație și cartografie facilitând măsurătorile cu busola și indicarea pozițiilor geografice. În construcții, gradele sunt utilizate pentru a defini unghiurile structurilor, a înclinațiilor și a altor elemente geometrice. Ușurința de citire și standardizarea instrumentelor de măsură fac gradele o alegere practică.
Radianii sunt preferați în matematică datorită relației lor naturale cu numărul π. Multe formule din trigonometrie și analiză matematică sunt mai simplu de scris și de înțeles când unghiurile sunt exprimate în radiani.
Deși în astronomie se folosesc atât gradele sexagesimale cât și radiani, pentru măsurători specifice, cum ar fi pozițiile stelelor și ale planetelor, gradele sunt frecvent utilizate pentru a comunica informații într-un mod accesibil publicului larg.
Cum facem conversia gradelor în radiani și invers?
Aplicând regula de trei simplă vom putea face ușor conversia gradelor în radiani și invers.
Formula de bază pentru conversia gradelor în radiani este:
Radiani=\frac{\pi}{180^\circ} \cdot Grade În mod similar, pentru a converti din radiani în grade, folosim:
Grade= \frac{180^\circ}{π}\cdot RadianiAceste formule arată relația directă între cele două sisteme de măsurare, unde 180 de grade echivalează cu π radiani, adică jumătatea unui cerc.
Exemple:
Convertim 45 de grade în radiani aplicând formula de mai sus:
\frac{\pi}{\cancel{180^\circ}} \cdot \cancel{45^\circ} = \frac{\pi}{4} (rad)Deci 45° sunt \displaystyle \frac{\pi}{4} radiani.
Invers convertim \displaystyle \frac{\pi}{4} radiani in grade aplicând de-asemenea formula corespunzătoare de mai sus:
\frac{180^\circ}{\cancelπ}\cdot\frac{\cancel \pi}{4} = 45^\circÎn tabelul de mai jos regăsim principalele valori ale măsurilor unui unghi exprimate in grade și radiani.
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Unghi în grade} & \text{Unghi în radiani} \\
\hline
0^\circ & \rule{0pt}{4ex}0\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
30^\circ & \rule{0pt}{4ex}\dfrac{\pi}{6}\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
45^\circ & \rule{0pt}{4ex}\dfrac{\pi}{4}\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
60^\circ & \rule{0pt}{4ex}\dfrac{\pi}{3}\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
90^\circ & \rule{0pt}{4ex}\dfrac{\pi}{2}\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
120^\circ & \rule{0pt}{4ex}\displaystyle\dfrac{2\pi}{3}\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
135^\circ & \rule{0pt}{4ex}\dfrac{3\pi}{4}\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
150^\circ & \rule{0pt}{4ex}\dfrac{5\pi}{6}\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
180^\circ & \rule{0pt}{4ex}\pi\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
270^\circ & \rule{0pt}{4ex}\dfrac{3\pi}{2}\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
360^\circ & \rule{0pt}{4ex}2\pi\rule[-3ex]{0pt}{0pt} \\
\hline
\end{array}
Alte măsuri pentru unghiuri
Gradul centesimal sau gon
Gradul centesimal, cunoscut și sub denumirea de grad gon sau grad gradian, a fost introdus o dată cu introducerea sistemului metric (zecimal) pentru a înlocui gradul sexagesimal în măsurătorile unghiulare, în special în măsurătorile de latitudine și longitudine. În loc să se împartă în 90 de grade, unghiul drept se împarte în acest caz în o sută de grade astfel un cerc complet are 400 de grade centesimale. Un grad centesimal este împărțit în 100 de minute; un minut centesimal este notat cu simbolul ^c . Un minut centesimal este împărțit în 100 de secunde; o secundă centesimală este notată cu simbolul ^{cc} .
Deși nu a câștigat popularitatea gradelor sexagesimale sau a radianilor în matematică și știință, el a fost adoptat în unele domenii specifice, cum ar fi topografia și ingineria civilă, datorită compatibilității sale cu sistemul metric.
Conversia între gradele sexagesimale și gradele centesimale este relativ simplă, având în vedere relația dintre cele două sisteme de măsură. Formulele de conversie sunt:
Pentru a converti grade sexagesimale în grade centesimale folosim:
Gon= \frac{9}{10}\cdot Grade Sexagesimale
Pentru a converti grade radianii în grade centesimale folosim:
Gon =\frac{200}{\pi}\cdot RadianiPentru a converti grade centesimale în grade sexagesimale folosim:
Grade Sexagesimale= \frac{10}{9} \cdot Gon Pentru a converti grade centesimale în radiani folosim:
Radiani = \frac{\pi}{200} \cdot Gon
