Media aritmetică, geometrică și armonică

Media armonică

Media armonică este definită astfel:

m_h = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots + \frac{1}{x_n}}

Putem spune că media armonică este inversul mediei aritmetice a inverselor numerelor.

Când folosim media armonică

Media armonică este potrivită atunci când valorile mediate sunt rapoarte a două variabile diferite, de exemplu mărimi fizice precum viteza sau cantități invers proporționale. Cel mai la îndemână exemplu este calculul vitezei medii a unui vehicul care se deplasează cu viteze diferite pe segmente de drum de lungimi egale.

De exemplu, putem considera că, pe o distanță de 100 km, o mașină se deplasează astfel:

• pe primii 50 km, cu viteza de 80 de km/h
• pe următorii 50, cu viteza de 140 km/h

Pentru a afla viteza medie pe cei 100 km, putem folosi două metode. Prima presupune împărțirea distanței totale la timpul total:

t_1=\frac{50}{80}\,h\\[1em]
t_2=\frac{50}{140}\,h\\[1em]
t=t_1+t_2=\\[1em]=50\cdot(\frac{1}{80}+\frac{1}{140})\,h\\[1em]
t=\frac{550}{560}\,h\\[1em]
v =\frac{d}{t}=\\[1em]
=\frac{100\,km}{\frac{550}{560}\,h}=\frac{100\cdot560}{550}\,\frac{km}{h}=\\[1em]
=\frac{5600}{55}\,\frac{km}{h}\\[1em]
\boxed{v=101.82\,\frac{km}{h}}

Cea de-a doua variantă de calcul a vitezei medii este să ne ajutăm de media armonică. Putem face acest lucru pentru că cele două segmente de drum sunt egale:

v = \frac{2}{\frac{1}{80\,\frac{km}{h}}+\frac{1}{140\,\frac{km}{h}}}=\\[1em]
=\frac{2}{(\frac{7}{560}+\frac{4}{560})\,\frac{h}{km}}=\\[1em]
=2\cdot\frac{560}{11}\,\frac{km}{h}\\[1em]
\boxed{v=101.82\,\frac{km}{h}}

E important să observăm că media aritmetică a vitezelor nu ar fi oferit o aproximare satisfăcătoare pentru viteza medie:

\bar{v}=\frac{80+140}{2}\,\frac{km}{h}\\[1em]
\bar{v}=110\,\frac{km}{h}

Media armonică ponderată

Am presupus mai sus că segmentele de drum sunt egale, respectiv de 50 km fiecare. Dacă lucrurile nu stau așa, putem totuși calcula viteza medie cu ajutorul mediei armonice ponderate. Aceasta este definită după cum urmează:

m_h=\frac{p_1+p_2+\ldots+p_n}{\frac{p_1}{x_1}+\frac{p_2}{x_2}+\ldots+\frac{p_n}{x_n}}

Ponderea p pentru fiecare valoare x are sensul de “greutatea” sau “importanța” acesteia. Să modificăm exemplul de mai sus și să considerăm că primul segment de drum, cel parcurs cu 80km/h are lungimea de 70 de km, iar restul de 30km au fost parcurși cu 140 km/h. Folosind prima metodă, obținem:

t_1 = \frac{70}{80}\,h\\[1em]
t_2 = \frac{30}{140}\,h\\[1em]
t = t_1+t_2=\\[1em]
=\frac{490+120}{560}\,h=\frac{61}{56}h\\[1em]
v = \frac{d}{t}=\frac{100\cdot 56}{61}\,\frac{km}{h}\\[1em]
\boxed{v=91.80\,\frac{km}{h}}

Pentru a folosi media armonică ponderată, considerăm ponderile ca fiind lungimile segmentelor de drum corespunzătoare, 70 km și respectiv 30 km:

v = \frac{70\,km+30\,km}{ \frac{70\,km}{80\,\frac{km}{h}}+\frac{30\,km}{140\,\frac{km}{h}}}\\[1em]
v=\frac{100}{\frac{490+120}{560}}\,\frac{km}{h}\\[1em]
v=\frac{100\cdot 560}{610}\,\frac{km}{h}\\[1em]
\boxed{v=91.80\,\frac{km}{h}}

Proprietăți ale mediei armonice

Inegalitatea mediilor

Media armonică este mai mică sau egală cu media geometrică. La rândul ei, aceasta este mai mică sau egală cu media aritmetică. Considerând n numere pozitive nenule x₁…x_n:

min(x_1,x_2,\ldots,x_n)\le m_h \le m_g \le m_a \le max(x_1,x_2,\ldots,x_n)

Articolul continuă pe pagina următoare