Media aritmetică, geometrică și armonică

Cu cât ne apropiem de sfârșitul semestrului, orice elev sau student este interesat din ce în ce mai mult să știe care va fi media sa la una sau mai multe materii sau chiar media generală. Calculăm frecvent media aritmetică a mai multor numere, pentru a vedea, de exemplu, dacă anul acesta vom lua premiu sau mențiune. Sau atunci când vrem să știm dacă anul acesta a fost mai călduros decât anul trecut. Sau poate vrem să aflăm dacă familia Georgescu câștigă mai mult pe membru de familie decât familia Ionescu. Dar ce este de fapt media aritmetică? În principiu, toate mediile sunt folosite pentru a ne simplifica viața și calculele, înlocuind un set de valori cu una singură, “centrală”, care ar trebui să le reprezinte pe toate celelalte. Vedem mai departe unde pot fi folosite, care sunt limitările și de ce avem nevoie de atâtea tipuri de medie: media aritmetică, geometrică, sau armonică.

O foarte scurtă istorie a mediilor aritmetică, geometrică și armonică

Aceste trei tipuri de medii poartă numele de medii pitagoreice, fiind studiate pentru prima dată de Pitagora și școala sa. Asta se întâmpla în secolele VI – V î.Hr. Filosofia pitagoricienilor construia un mod de viață bazat pe echilibru. În matematică, erau fascinați de numere și de proprietățile și rapoartele lor, iar media aritmetică, spre exemplu, era o modalitate de a exprima acest echilibru între ele. În muzică, de asemenea, aceste medii aveau o importanță deosebită în găsirea acordurilor melodioase, armonice.

Vreo trei sute de ani mai târziu, Euclid se folosește de medii în contextul geometriei, în cartea sa, Elementele. De exemplu, ceea ce cunoaștem azi drept “Teorema înălțimii” apare în cartea VI, prop. 8, unde se demonstrează că triunghiurile formate de înălțimea din unghiul drept al unui triunghi dreptunghic cu catetele și proiecțiile lor pe ipotenuză sunt asemenea. Drept rezultat, înălțimea respectivă este calculată ca fiind media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Studiul acestor medii este formalizat și aprofundat în secolul XIX, odată cu dezvoltarea și formalizarea statisticii ca disciplină. În această perioadă mediile sunt clar definite iar proprietățile lor cercetate în profunzime.

Definiții, proprietăți și exemple

Media aritmetică

Media aritmetică a n numere x₁…x_n este definită astfel:

m_a = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}

Pentru două numere a și b, vom avea deci:

m_a = \frac{a + b}{2}

De exemplu media aritmetică a numerelor 4 și 20 va fi:

\frac{4+20}{2} = \frac{24}{2}=12

Revenind la studentul nostru, ce voia să își calculeze media la sfârșitul semestrului, considerând că a luat următoarele note – 7, 10, 8, 9.5, 7 – media lui va fi:

\frac{7+10+8+9.5+7}{5}=\\[1em]=\frac{41.5}{5}=8.3

Mai putem nota media aritmetică a valorilor x1 … xn astfel:

\overline{x}= \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}

Folosind această notație iar a și c fiind constante, putem considera:

\overline{x+a} = \frac{(x_1+a)+\ldots+(x_n+a)}{n}\\[1em]
\overline{c\cdot x} = \frac{c\cdot x_1 +\ldots+c\cdot x_n}{n}

Proprietăți ale mediei aritmetice

Pentru cazul particular în care considerăm media aritmetică a două numere, aceasta se află la jumătatea distanței dintre acestea. În exemplul de mai sus, 12 se află la jumătatea distanței dintre 4 și 20.

În general, media aritmetică se află între minimul și maximul valorilor pentru care se face media.

Distanța până la medie

În general, suma distanțelor de la valori la media aritmetică este 0, considerând și semnul acestora:

(x_1-m_a)+(x_2-m_a)+\ldots+(x_n-m_a)=0\\[1em]

Demonstrația acestei formule este destul de simplă. Desfăcând parantezele obținem:

x_1+x_2 + \ldots + x_n - n \cdot m_a = \\[1em]
= x_1+x_2 + \ldots + x_n - (x_1+x_2 + \ldots + x_n)\\[1em]
= 0

Omogenitate

Această proprietate spune că dacă înmulțim toate valorile cu o constantă c, atunci media acestora va fi produsul dintre c și media inițială. Concret:

\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\\[1em]
\overline{c\cdot x}=\frac{c\cdot x_1 + c\cdot x_2 + \ldots + c\cdot x_n}{n}\\[1em]
\overline{c\cdot x} = c\cdot\overline{x}

O consecință a acestei proprietăți este faptul că media aritmetică este independentă de unitatea de măsură. De exemplu, dacă vom converti un set de valori din centimetri în metri, noua medie poate fi obținută prin aceeași conversie, din media inițială.

Invarianță la translație

Dacă la fiecare valoare adăugăm o constantă a, atunci noua medie aritmetică poate fi obținută din media inițială adăugând aceeași constantă a.

\overline{x+a} = \overline{x} + a

Și această relație este destul de simplu de demonstrat:

\frac{(x_1+a)+\ldots+(x_n+a)}{n} =\\[1em]
=\frac{n\cdot a + x_1 + \ldots + x_n}{n}=\\[1em]
=a + \frac{x_1+\ldots+x_n}{n}=\\[1em]
=a +\overline{x}

Media aritmetică ponderată

Să revenim la media studentului nostru. În exemplul de mai sus, media notelor de pe parcursul semestrului era 8.3. La sfârșitul semestrului, studentul are de susținut un examen final, care are o pondere (“importanță”) de 25% din nota finală. Să zicem că la acest examen, el a obținut nota 9.75. Care va fi nota lui la această materie? Aici intervine media ponderată.

Formal, ea ar fi definită astfel:

m_p = \frac{p_1 x_1 + p_2 x_2 + \ldots + p_n x_n}{p_1 + p_2 + \ldots + p_n}

În formula de mai sus, p₁ ,…, p_n sunt ponderile asociate fiecărei valori x₁,…,x_n. În cazul notei finale, aceasta va fi calculată considerând o pondere de 0.75 pentru media notelor din timpul semestrului și 0.25 pentru nota examenului final:

\frac{0.75\cdot 8.3 + 0.25\cdot 9.75}{0.75 + 0.25}=\\[1em]\\=6.225+2.4375=\\[1em]=8.6625

Dacă în schimb examenul final ar avea o pondere de 50%, atunci media finală ar deveni:

\frac{0.5\cdot 8.3 + 0.5 \cdot 9.75}{0.5 + 0.5}=\\[1em]\\=4.15 + 4.875 =\\[1em]\\=9.025

Putem observa că media aritmetică este de fapt un caz particular al mediei ponderate, în care ponderile valorilor sunt egale.

\frac{px_1+px_2+\ldots+px_n}{p+p+\ldots+p}=\\[1em]\\=\frac{p\cdot(x_1+\ldots+x_n)}{p\cdot n}=\\[1em]=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}

Când folosim media aritmetică

Media aritmetică este în general folosită atunci când valorile pe care le mediem sunt omogene, adică de același fel: notele obținute într-un semestru, temperaturile măsurate în fiecare zi de-a lungul unei luni, etc. Mai mult, valorile nu se “compun” sau “multiplică” între ele, sunt independente și reflectă o măsurare independentă a unei mărimi – performanța studentului, temperatura ca mărime fizică.

Unele valori nu sunt relevante

Media aritmetică este influențată puternic de unele valori extreme dar singulare. De aceea, în practică se recomandă câteodată eliminarea acestora din calcularea mediilor. De exemplu, vrem să calculăm temperatura medie pentru luna aprilie, care are 30 de zile. Pentru 29 dintre ele, media este de 18 grade. Într-o singură zi temperatura a scăzut foarte mult, la 4 grade. Temperatura medie va fi atunci:

m_{a(29)} = \frac{x_1+\ldots +x_{29}}{29}=18\\[1em]
m_{a(30)} = \frac{x_1+\ldots +x_{29}+x_{30}}{30}=\\[1em]
= \frac{m_{a(29)}\cdot 29 + x_{30}}{30}= \\[1em]
=\frac{18\cdot 29 + 4}{30} = 17.53

Vedem că dacă adăugăm această temperatură foarte scăzută, media temperaturii scade cu aproape jumătate de grad. Procentual, aceasta reprezintă o variație de 2.5% față de cele 18 grade, media celorlalte temperaturi. Dacă vrem doar să avem o idee cam cât de cald sau frig este în luna aprilie, această variație nu este relevantă și putem ține cont și de valoarea aceasta minimă. Dacă însă vrem să calculăm temperatura medie în mai mulți ani pentru a studia efectele încălzirii globale, o astfel de variație este importantă și vom alege să eliminăm valoarea de 4 grade, mai ales dacă restul valorilor sunt grupate în jurul valorii de 18 grade.

Articolul continuă pe pagina următoare