Ecuația de gradul 2

Ecuația de gradul 2, cunoscută și sub denumirea de ecuație quadratică, reprezintă unul dintre conceptele fundamentale ale algebrei și matematicii.

Forma generală pentru ecuația de gradul 2 este:

ax² + bx+c = 0, a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0.

x este variabila, iar a, b și c sunt constante cu a ≠ 0.

Dacă a = 0, atunci ecuația devine ecuație de gradul întâi.

Mai spunem că:
– a este coeficientul termenului de grad doi sau pătratic
– b este coeficientul termenului de grad 1 sau liniar
– c este termenul constant sau termenul liber.

Pentru a rezolva ecuația de gradul 2 vom folosi formulele de mai jos:

x_1= \dfrac{-b+\sqrt[]{\Delta}}{2a}; \\[1em]x_2= \dfrac{-b-\sqrt[]{\Delta}}{2a}; \\[1em] \Delta = b^2-4ac

De asemenea putem considera b = 2b’ și astfel vom avea următoarele formule de rezolvare:

 \Delta' = b'^2-ac; \ \ b = 2b'; \\[1em] x_1= \dfrac{-b'+\sqrt[]{\Delta'}}{a}; \\[1em]x_2= \dfrac{-b'-\sqrt[]{\Delta'}}{a}; 

Formulele lui François Viète pentru ecuația de gradul 2

Ne arata care sunt relațiile dintre coeficienții  ecuației algebrice de gradul al doilea și rădăcinile acesteia.

x_1+x_2= -\dfrac{b}{a}; \\[1em]x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}

În continuare vom nota cu S suma rădăcinilor x₁ si x₂ astfel S = x₁+x₂ și cu P produsul rădăcinilor x₁ si x₂. Astfel, P = x₁·x₂ și vom analiza atât natura cât și semnul rădăcinilor în funcție de semnele lui Δ (Δ = b²-4ac), P și S:

Formule utile

x_1^2+x_2^2= (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = S^2 - 2P \\[1em]x_1^3+x_2^3= (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) = S^3 - 3SP \\[2em]
x_1^4+x_2^4= (x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2 = S^4 - 4S^2P+2P^2 \\[2em]
\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{S}{P}\\[2em]
\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{S^2-2P}{P}\\[2em]
\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{(x_1\cdot x_2)^2}=\dfrac{S^2-2P}{P^2}\\[2em]

Construirea unei ecuații de gradul 2 cand se cuonsc suma și produsul rădăcinilor ei:

x^2-Sx + P = 0

Descompunerea trinomului f(x) = ax² + bx +c

Fie f(x) = ax² + bx +c, f : ℝ → ℝ; a, b,c ∈ ℝ cu a ≠ 0 si x₁ și x₂ rădăcinile trinomului. Pe mulțimea numerelor reale aceasta ecuație admite maxim 2 soluții după cum urmează:

1. în cazul Δ > 0, avem 2 rădăcini distincte f(x) = a(x-x₁)(x-x₂);
2. în cazul Δ = 0, cele 2 rădăcini coincid f(x) = a(x-x₁)²;
3. în cazul Δ < 0, nu avem soluții reale f(x) = ax² + bx +c.

Semnul funcției

În continuare vom analiza semnul funcției f(x) = ax² + bx +c, f : ℝ → ℝ; a, b,c ∈ ℝ cu a ≠ 0, în funcție de valorile lui Δ.
Vom nota sgn funcția semn.

Δ > 0; presupunem că x₁ < x₂

\begin{array}{|c|l c c c r|} \hline 
	 \\ x  &- \infty   &x_1&   & x_2&+\infty  \\[1em] \hline
	\\f(x) &\text{sgn(a) }&0&\text{-sgn(a) } &0&\text{sgn(a) }\\[1em] \\\hline
\end{array}

Δ = 0 caz în care rădăcinile sunt egale

\begin{array}{|c|l  c r|} \hline 
	 \\ x  &- \infty   &x_1= x_2&+\infty  \\[1em] \hline
	\\f(x) &\text{sgn(a) }&0&\text{sgn(a) }\\[1em] \\\hline
\end{array}

Δ < 0 caz în care nu avem rădăcini reale

\begin{array}{|c|l  c r|} \hline 
	 \\ x  &- \infty   &&+\infty  \\[1em] \hline
	\\f(x)& &\text{sgn(a)}&\\[1em] \\\hline
\end{array}

Graficul funcției

Graficul funcției f(x) = ax² + bx +c, f : ℝ → ℝ; a, b,c ∈ ℝ cu a ≠ 0 este o parabolă.

Punctele de intersecție cu axa 0x reprezintă soluțiile pentru ecuația de gradul 2:

ax² + bx +c = 0.

Punctul de intersecție cu axa 0y se obține pentru f(0) care va fi c.

Teoremă

Două ecuații de gradul al doilea ax²+ bx + c = 0 și a’x²+ b’x + c’ = 0 au aceleași rădăcini dacă și numai dacă au coeficienții proporționali a = ka’, b = kb’, c = kc’ unde k ∈ ℝ^*

Forma canonică

Fie ecuația de gradul al doilea ax²+ bx + c = 0 cu a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0. Dacă împărțim ecuația inițială cu a avem:

x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 0

Dacă notăm
\begin{alignedat}{2} p = \dfrac{b}{a} \\[2em] q = \dfrac{c}{a} \end{alignedat}
obținem forma canonică
\begin{alignedat}{2} x^2+ px+ q =0 \end{alignedat} \\

Rădăcinile ecuației x² + px + q = 0 p, q ∈ ℝ exprimate cu ajutorul funcțiilor trigonometrice

vom nota cu x₁, x₂ rădăcinile ecuației și cu sgn funcția semn.

x_{1,2}=\dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[2em]
\text{sau}\\[2em]
x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}\bigg(1 \pm \sqrt{1-\dfrac{4q}{p^2}}\bigg)\\
\ \\ \ \\ \ \ \text{ cu } \Delta = p^2-4q

Daca Δ>0 cu q < 0

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 
\  \textbf{Formula lui }\theta &x_1&x_2\\ \hline  
\\ tg \theta = \dfrac{2\sqrt{-q}}{|p|} &sgn(p)\cdot\sqrt{-q}\cdot tg\dfrac{\theta}{2}&-sgn(p)\cdot\sqrt{-q}\cdot ctg\dfrac{\theta}{2}\\[1em] \hline
\end
{array}  

Daca Δ>0 cu q > 0

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 
\  \textbf{Formula lui }\theta &x_1&x_2\\ \hline  
\\    sin  \theta = \dfrac{2\sqrt{q}}{|p|} &-sgn(p)\cdot\sqrt{q}\cdot tg\dfrac{\theta}{2}&-sgn(p)\cdot \sqrt{q}\cdot ctg\dfrac{\theta}{2}\\[1em]\hline

\end
{array}  

Daca Δ<0

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 
\ \textbf{q} & \textbf{Formula lui }\theta &x_1&x_2\\ \hline  
 \\ q \gt 0  & cos \theta = \dfrac{|p|}{2\sqrt{q}}  &\sqrt{q}\cdot e^{i\theta} &\sqrt{q}\cdot e^{-i\theta} \\[1em] \hline
\end
{array}