Să se rezolve în mulțimea numerelor reale R următoarea ecuație cu radicali:
\sqrt{x+\sqrt{14x-49}} +\sqrt{x-\sqrt{14x-49}} =\sqrt{14}Această ecuație cu radicali a fost propusă în grupul MATE PENTRU TOȚI .
Vom prezenta doua metode de rezolvare a acestei probleme.
Pentru inceput vom pune conditiile de existenta ale radicalului. Deoarce avem de-a face cu mai multi radicali de ordinul 2 (par) va trebui sa luam in considerarea analiza pentru fiecare radical existent.
\text{ pentru } \sqrt{14x-49} \ \ \text { avem conditia } \ 14x -49 \ge0 \iff \\ \ \\ 14x \ge 49\iff x \ge \frac{49}{14}\iff x \ge \frac{7}{2}\text{ pentru } \sqrt{x+\sqrt{14x-49}} \ \text { avem conditia } \ x + \sqrt{14x-49} \ \ge0 \\ \ \\ \text{ insa din conditia precedenta avem } x \ge \frac{7}{2} \text { ceea ce face ca } \\ \ \\ x + \sqrt{14x-49} \ge0 \space (\forall) \space x \ge \frac{7}{2}\text{mai ramane discutia pentru} \sqrt{x -\sqrt{14x-49}} \ \text { unde avem conditia } \ x - \sqrt{14x-49} \ \ge0 \\ \ \\
\iff x \ge \sqrt{14x-49}\iff x^2 \ge 14x-49 \iff x^2 -14x +49\ge 0 \\ \ \\
Avem acum o inecuație de gradul al doilea si vom calcula radacinile acesteia pentru a stabili semnul acesteia:
\Delta=14^2-4*49 = 196 -196 = 0 \\ \ \\ \text{cum coeficientul lui } x^2 \text{ este } 1 \text{, } x^2
−14x+49≥0 \ \ (\forall) \space x \in \R \\ \ \\ \text{ sau } x^2 -14x +49 = (x-7)^2Metoda I :
O idee de rezolvare a acestei ecuatii este sa ne folosim de urmatorele egalitati:
\sqrt{A+\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} + \sqrt{\frac{A-C}{2}} \iff \sqrt{A^2-B } =C \\ \ \\ \text{si} \ \\ \\\ \ \\ \sqrt{A-\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} - \sqrt{\frac{A-C}{2}} \iff \sqrt{A^2-B } = C \ \\ \ \\ \\ \text{ iar adunate }\ \\ \ \\ \ \sqrt{A+\sqrt{B}} + \sqrt{A-\sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{A+C}{2}} \text{ cu }\sqrt{A^2-B } =CMai multe egalitai cu radicali gasiti aici.
Stim ca
\sqrt{x+\sqrt{14x-49}} +\sqrt{x-\sqrt{14x-49}} =\sqrt{14}\text {Pentru ecuatia noastra daca }x \text{ este } A \space \text { iar } 14x-49 = B \ \text{ vom avea} \ \\ \ \\ C = \sqrt{x^2-(14x-49) } \iff C =\sqrt{(x-7)^2} \iff C = | x-7| \\ \ \\ \text{ cum } \\ \ \\ \sqrt{14 } = 2\sqrt{\frac{x + |x-7|}{2}}Vom aplica proprietatile modulului:
Caz I
x - 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7 \Rightarrow \sqrt{14 } = 2\sqrt{\frac{x + (x-7)}{2}} \iff \\ \ \\
\iff \sqrt{14 } = 2\sqrt{\frac{2x -7}{2}}\iff \\ \ \\
\iff \frac {\sqrt{2 *14 }}{2} = \sqrt{2x -7} \iff \\ \ \\
\iff {\sqrt{7}} = \sqrt{2x -7} \iff \\ \ \\
\iff 7 = 2x -7 \iff 14 = 2x \iff \\ \ \\
\iff x = 7\text{Verificam acum conditia de existenta gasita initial, } x \ge \frac{7}{2}\\ \\ \ \\ 7 \space \text { indeplineste aceasta conditie}Caz II
x - 7 < 0 \Rightarrow x < 7 \Rightarrow \sqrt{14 } = 2\sqrt{\frac{x + (7-x)}{2}} \iff \\ \ \\ \ \\
\iff \sqrt{14 } = 2\sqrt{\frac{ 7}{2}} \iff \sqrt{14 } = \sqrt{14 } \iff \\ \ \\ \ \\
\iff \text{ luand in considerare conditiile de existenta } \space x \in[\frac{7}{2}, 7)\text { Deci din discutiile ameblor cazuri vom avea ca solutie } (\forall) \space x \in [\frac{7}{2},7]Metoda II :
Tinem cont de conditiile de existenta ale radicalilor discutate mai sus.
\text{ ridicam expresia } \sqrt{x+\sqrt{14x-49}} +\sqrt{x-\sqrt{14x-49}} =\sqrt{14}\space \text{ la patrat } \Rightarrow \\ \ \\ \Rightarrow
x+\sqrt{14x-49} + 2 \sqrt{(x+\sqrt{14x-49})(x-\sqrt{14x-49})}+x-\sqrt{14x-49} = 14 \iff \ \\ \ \\\iff
2x + 2 \sqrt{(x+\sqrt{14x-49})(x-\sqrt{14x-49})} = 14 \space | :2 \iff \ \\ \ \\
\iff x + \sqrt{(x+\sqrt{14x-49})(x-\sqrt{14x-49})} = 7 \iff \ \\ \ \\
\\\xLeftrightarrow{(a+b)(a-b)=a^2-b^2} x + \sqrt{x^2 -(14x -49) }= 7 \iff \ \\ \ \\
\iff x + \sqrt{x^2 -14x +49 }= 7\iff \ \\ \ \\
\\\xLeftrightarrow{a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2} x + \sqrt{(x-7)^2 } = 7\iff \ \\ \ \\
\\\xLeftrightarrow{\sqrt{x^2 } \space= \space|x| } x + | x-7| = 7 Vom aplica proprietatile modulului:
Caz I
x - 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7 \ \\ \ \\ \text{ Ceea ce face ca } | x -7| = x -7 \Rightarrow \\ \ \\ \Rightarrow x + (x -7) = 7 \iff 2x -7 = 7 \iff \\ \ \\ \iff 2x =14 \iff x = 7 \\ \ \\ \text{Din conditiile de existenta stim ca } x \ge \frac{7}{2} \text{ deci } x = 7 \space \text{ convine ca solutie }Caz II
x−7<0⇒x<7 \text{ Ceea ce face ca } | x -7| = -(x -7) \Rightarrow \\ \ \\ \Rightarrow
| x -7| = 7-x \Rightarrow x + (7 -x) = 7 \iff x +7 -x = 7 \iff \\ \ \\ \iff 0=0\\ \ \\ \text{Din conditiile de existenta stim ca } x \ge \frac{7}{2} \ \\ \ \\ \text{ dar din conditia de mai sus avem } x<7\\ \ \\ \Rightarrow (\forall) \space x \in [\frac{7}{2},7) \text { este solutie}\text { Deci din discutiile ameblor cazuri vom avea ca solutie } (\forall) \space x \in [\frac{7}{2},7]
