Ecuații de gradul 1 și inecuații

Mai jos vom arunca o privire asupra mulțimii soluțiilor pentru inecuații și ecuații de gradul 1, precum și asupra semnului funcției f(x) = ax + b și a coordonatelor intersecției graficului acesteia cu axele Ox și Oy.

Ecuația de gradul întâi

ax + b = 0, a, x, b ∈ ℝ.

Notăm cu S mulțimea soluțiilor unei ecuații de gradul 1. Vom analiza care sunt aceste soluții în funcție de valorile parametrilor a și b.

1) a ≠ 0 – soluție unică

\begin{alignedat}{1} &x= \frac{-b}{a} \implies \\[1em] &S= \bigg\{\dfrac{-b}{a}\bigg\} \end{alignedat} \\

2) a = 0 și b ≠ 0 – ecuația nu are soluții

\begin{alignedat}{2} &a=0, b \not = 0\implies \\[1em] &S= \emptyset \end{alignedat} \\

3) a = 0 și b = 0 – ecuația are o infinitate de soluții

\begin{alignedat}{2} &a = 0, b = 0 \implies \\[1em] &S= \R \end{alignedat} \\

Funcția f(x) = ax + b, f : ℝ → ℝ; a ≠ 0.

Semnul funcției f

În continuare vom analiza semnul funcției f(x) = ax + b, f : ℝ → ℝ; a, b ∈ ℝ cu a ≠ 0.

\begin{array}{|r|c|c|c|l|l|l|l| } \hline \\ \bold{x} &- \infty\ \ \ \ \ & -\dfrac{b}{a} &\ \ \ \ \ +\infty \\[1em] \hline \\\bold{f(x)} &\text{semn opus lui a }&0& \text{semnul lui a }\\[1em] \\\hline \end{array}

Graficul funcției f

Graficul este o dreaptă
Punctul de intersecție cu axa 0x reprezintă soluția ecuației ax + b = 0
Punctul de intersecție cu axa 0y se obține pentru f(0) care va fi b.

Inecuația de gradul întâi

1) ax + b > 0; a, x, b ∈ ℝ

Fie S mulțimea soluțiilor. Vom analiza care sunt posibilele soluții în funcție de valorile parametrilor a și b. Astfel vom avea:

\begin{alignedat}{2} \textbf{a > 0,} & S= \bigg(-\dfrac{b}{a}, +\infty \bigg)\\[1em] \textbf{a < 0,} & S= \bigg(-\infty, -\dfrac{b}{a} \bigg)\\[1em] \textbf{a = 0, b >0,} & S= \R.\\[1em] \textbf{a = 0, b ≤ 0,} & S= \emptyset.\\[1em] \end{alignedat} \\

2) ax + b ≤ 0; a, x, b ∈ ℝ