Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a IX-a la ONGM 2020-2021.
Enunț
Suma elementelor mulțimii:
A= \left\{ n \in \mathbf{N},\ 1 \leq n \leq\ 100\ \Big | \ (2^n - 1) \mathrel{\vdots} 7 \right\}este egală cu:
A. 1683 B. 1710 C. 1671 D. 1723 E. 1696
Rezolvare
(2^n - 1) \mathrel{\vdots} 7 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ( \exists) k \in \mathbf{N}, 2^n - 1 = 7 \cdot k\\\;\\
2^n - 1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 +...+ 2 ^{n-1} \\\;\\
7 = 2 ^ 0 + 2^1 + 2^2
Observăm că 2n-1 se poate scrie ca (20+21+22)+23⋅(20+21+22)+…
astfel pentru ca 2n-1 sa fie divizibil cu 7 ar trebui ca (n – 1) să fie 3 de forma 3m-1 deci n să fie multiplu de 3.
2^n - 1 = \underbrace {2 ^ 0 + 2^1 + 2^2}_\text{7}) + \\\;\\+ 2^3\cdot (\underbrace {2 ^ 0 + 2^1 + 2^2}_\text{7}) + ... \implies\\\;\\ \implies 2^n - 1 \mathrel{\vdots} 7 \Leftrightarrow 3 | n \\\;\\\Leftrightarrow( \exists) m \in \mathbf{N}, \ n = 3\cdot m\\\;\\
\left. \begin{array}{ll}
n = 3\cdot m\\
\ 1 \leq n \leq\ 100\
\end{array}
\right \} \implies \\\;\\ \implies \ 1 \leq 3\cdot m \leq\ 100 \implies \\\;\\ \implies \ 1 \leq m \leq\ 33 \implies \newline \newline \newline \implies A= \{ n \in \mathbf{N} \Big | n = 3\cdot m, \\\ 1 \leq m \leq\ 33, m \in \mathbf{N}\} Suma elementelor lui A va fi:
S= 3 + 6 +...+99 \implies\\\;\\\implies S= 3\cdot(1+2+...+33)\overset{Suma\; lui \;Gauss}{\implies} \\\;\\\overset{Suma\; lui \;Gauss}{\implies} S = 3\cdot \dfrac{33\cdot34}{2} {\implies} \\\;\\\implies S = 3\cdot 33\cdot 17 {\implies} \\\;\\\implies S = 1683Răspunsul este A, 1683.
[the_ad_group id=”102″]
