Probleme de matematică

Problema rezolvată #21 – ONGM 2020-2021

Anca

Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a IX-a la ONGM 2020-2021.

Enunț

Suma elementelor mulțimii:

A={n∈N, 1≤n≤ 100 ∣ (2n−1)⋮7}A= \left\{ n \in \mathbf{N},\ 1 \leq n \leq\ 100\ \Big | \ (2^n - 1) \mathrel{\vdots} 7 \right\}

este egală cu:

A. 1683        B. 1710       C. 1671        D. 1723       E. 1696
Rezolvare
(2n−1)⋮7⇔⇔(∃)k∈N,2n−1=7⋅k  2n−1=20+21+22+...+2n−1  7=20+21+22 (2^n - 1) \mathrel{\vdots} 7 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ( \exists) k \in \mathbf{N}, 2^n - 1 = 7 \cdot k\\\;\\ 2^n - 1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 +...+ 2 ^{n-1} \\\;\\ 7 = 2 ^ 0 + 2^1 + 2^2

Observăm că 2n-1 se poate scrie ca (20+21+22)+23⋅(20+21+22)+…
astfel pentru ca 2n-1 sa fie divizibil cu 7 ar trebui ca (n – 1) să fie 3 de forma 3m-1 deci n să fie multiplu de 3.

2n−1=20+21+22⏟7)+  +23⋅(20+21+22⏟7)+...  ⟹      ⟹  2n−1⋮7⇔3∣n  ⇔(∃)m∈N, n=3⋅m  n=3⋅m 1≤n≤ 100 }  ⟹      ⟹   1≤3⋅m≤ 100  ⟹      ⟹   1≤m≤ 33  ⟹    ⟹  A={n∈N∣n=3⋅m, 1≤m≤ 33,m∈N}2^n - 1 = \underbrace {2 ^ 0 + 2^1 + 2^2}_\text{7}) + \\\;\\+ 2^3\cdot (\underbrace {2 ^ 0 + 2^1 + 2^2}_\text{7}) + ... \implies\\\;\\ \implies 2^n - 1 \mathrel{\vdots} 7 \Leftrightarrow 3 | n \\\;\\\Leftrightarrow( \exists) m \in \mathbf{N}, \ n = 3\cdot m\\\;\\ \left. \begin{array}{ll} n = 3\cdot m\\ \ 1 \leq n \leq\ 100\ \end{array} \right \} \implies \\\;\\ \implies \ 1 \leq 3\cdot m \leq\ 100 \implies \\\;\\ \implies \ 1 \leq m \leq\ 33 \implies \newline \newline \newline \implies A= \{ n \in \mathbf{N} \Big | n = 3\cdot m, \\\ 1 \leq m \leq\ 33, m \in \mathbf{N}\}

Suma elementelor lui A va fi:

S=3+6+...+99  ⟹      ⟹  S=3⋅(1+2+...+33)  ⟹  Suma  lui  Gauss    ⟹  Suma  lui  GaussS=3⋅33⋅342  ⟹      ⟹  S=3⋅33⋅17  ⟹      ⟹  S=1683 S= 3 + 6 +...+99 \implies\\\;\\\implies S= 3\cdot(1+2+...+33)\overset{Suma\; lui \;Gauss}{\implies} \\\;\\\overset{Suma\; lui \;Gauss}{\implies} S = 3\cdot \dfrac{33\cdot34}{2} {\implies} \\\;\\\implies S = 3\cdot 33\cdot 17 {\implies} \\\;\\\implies S = 1683

Răspunsul este A, 1683.

[the_ad_group id=”102″]

Pe aceeași temă

Probleme de matematică

Problemă rezolvată #42 – geometrie problemă cu romb

Anca
Probleme de matematică

Problemă rezolvată #41 – pregătire evaluare națională să se găsească numărul xyz

Anca