Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a IX-a la ONGM 2020-2021.
Enunț
Dacă numerele x – 1, y, x + y, 5x -y sunt, în această ordine în progresie aritmetică atunci produsul x⋅y este egal cu:
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 E. 10
Rezolvare
Cele 4 numere sunt în progresie aritmetică. Fie r rația progresiei aritmetice. Atunci avem următoarele relații:
\left. \begin{array}{ll}
y = x-1 + r\\
x + \cancel y = \cancel y +r \implies x = r\newline
\end{array}\right\} \implies \\\;\\ \implies y = r - 1 + r \implies y = 2\cdot r - 1 \\\;\\
\left. \begin{array}{ll}
5\cdot x -y = x + y + r \\\;\\
x = r \\\;\\
y = 2\cdot r - 1 \end{array}\right\} \implies \\\;\\ \implies 5\cdot r - (2\cdot r - 1) = \\ \;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;=r + (2\cdot r - 1) + r \implies \\\;\\ \implies 5\cdot r - 2\cdot r + 1 = \\\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;= r + 2\cdot r - 1 + r \implies \\\;\\ \implies 3\cdot r + 1 = 4\cdot r - 1 \implies \\\;\\ \implies 1 + 1 = 4\cdot r - 3\cdot r \implies \\\;\\ \implies r = 2 \implies
\left \{ \begin{array}{ll}
x = 2\\
y = 3
\end{array}\right.Deci x⋅y = 6 iar răspunsul corect este C.
[the_ad_group id=”102″]
