Probleme de matematică

Problema rezolvată #19 – ONGM 2020-2021

Anca

Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a IX-a la ONGM 2020-2021.

Enunț

Dacă numerele x – 1, y, x + y, 5x -y sunt, în această ordine în progresie aritmetică atunci produsul x⋅y este egal cu:

A. 4           B. 5          C. 6          D. 8          E. 10
Rezolvare

Cele 4 numere sunt în progresie aritmetică. Fie r rația progresiei aritmetice. Atunci avem următoarele relații:

y=x−1+rx+y=y+r  ⟹  x=r}  ⟹      ⟹  y=r−1+r  ⟹  y=2⋅r−1  5⋅x−y=x+y+r  x=r  y=2⋅r−1}  ⟹      ⟹  5⋅r−(2⋅r−1)=                                =r+(2⋅r−1)+r  ⟹      ⟹  5⋅r−2⋅r+1=                                =r+2⋅r−1+r  ⟹      ⟹  3⋅r+1=4⋅r−1  ⟹      ⟹  1+1=4⋅r−3⋅r  ⟹      ⟹  r=2  ⟹  {x=2y=3\left. \begin{array}{ll} y = x-1 + r\\ x + \cancel y = \cancel y +r \implies x = r\newline \end{array}\right\} \implies \\\;\\ \implies y = r - 1 + r \implies y = 2\cdot r - 1 \\\;\\ \left. \begin{array}{ll} 5\cdot x -y = x + y + r \\\;\\ x = r \\\;\\ y = 2\cdot r - 1 \end{array}\right\} \implies \\\;\\ \implies 5\cdot r - (2\cdot r - 1) = \\ \;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;=r + (2\cdot r - 1) + r \implies \\\;\\ \implies 5\cdot r - 2\cdot r + 1 = \\\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;= r + 2\cdot r - 1 + r \implies \\\;\\ \implies 3\cdot r + 1 = 4\cdot r - 1 \implies \\\;\\ \implies 1 + 1 = 4\cdot r - 3\cdot r \implies \\\;\\ \implies r = 2 \implies \left \{ \begin{array}{ll} x = 2\\ y = 3 \end{array}\right.

Deci x⋅y = 6 iar răspunsul corect este C.

[the_ad_group id=”102″]

Pe aceeași temă

Probleme de matematică

Problemă rezolvată #42 – geometrie problemă cu romb

Anca
Probleme de matematică

Problemă rezolvată #41 – pregătire evaluare națională să se găsească numărul xyz

Anca