6. Inegalitățile Minkovski
\sqrt[]{(a_1+b_1)^2 + ... +(a_{n}+b_{n})^2}\leq \\\;\\ \leq \sqrt[]{a_1^2 + ... +a_{n}^2} +\;\sqrt[]{b_1^2+ ... +b_{n}^2} \;; \\\;\\(\forall)a_i, b_i\in\R, i= \overline {1,n}pentru p >1:
\sqrt[p]{|a_1+b_1|^p + ... +|a_{n}+b_{n}|^p}\leq \\\;\\ \leq \sqrt[p]{|a_1|^p + ... +|a_{n}|^p}+\\\;\\ +\sqrt[p]{|b_1|^p + ... +|b_{n}|^p} \;;\\\;\\ (\forall)a_i, b_i\in\R\;, \;p\geq1, i= \overline {1,n}pentru 0 < p <1:
\sqrt[p]{|a_1+b_1|^p + ... +|a_{n}+b_{n}|^p}\geq \\\;\\ \geq \sqrt[p]{|a_1|^p + ... +|a_{n}|^p} + \\\;\\\;\;\;\;\;\;\;+\;\sqrt[p]{|b_1|^p + ... +|b_{n}|^p} \;; \\\;\\(\forall)a_i, b_i\in\R\;, \;0< p< 1, i= \overline {1,n}plus:
\sqrt[n]{a_1\cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} + \sqrt[n]{b_1\cdot b_2 \cdot ... \cdot b_n}\leq \\\;\\ \leq \sqrt[n]{(a_1+b_1)\cdot ... \cdot(a_n+b_n)} ; \\\;\\(\forall)a_i, b_i\in\R_+,\; i= \overline {1,n}7. Inegalități Cebîșev
dacă ak este un șir finit de numere pozitive monoton crescator, iar bk este un șir finit de numere pozitive monoton descrescător atunci avem:
\frac{1}{n} \cdot(a_1\cdot b_1 +...+a_n\cdot b_n) <\\\;\\ < \left( \frac{1}{n }\cdot ( {a_1+... +a_n) }\right) \cdot\\\;\\\cdot\left(\frac{1}{n }\cdot ({b_1+... +b_n)}\right) ; \\\;\\ 0< a_1<...< a_n\;și\; \;\\\;\\\;0< b_n< ...< b1, \:finiteinegalitatea devine egalitate dacă a1=a2=…=an și b1=b2=…=bn
Dacă șirurile sunt monoton crescătoare sau monoton descrescătoare în același timp, atunci avem:
\frac{1}{n} \cdot(a_1\cdot b_1 +...+a_n\cdot b_n) \geq\\\;\\ \geq \left( \frac{1}{n }\cdot({a_1+... +a_n })\right) \cdot \\\;\\\cdot\left( \frac{1}{n }\cdot({b_1+... +b_n)}\right) ; \\\;\;\\ 0< a_1<...< a_n\;și\; \;\\\;\\\;0< b_1< ...< bn, \:finite \;\\\;\\\;sau\\\;\\ 0< a_n<...< a_1\;și\; \;\\\;\\\;0< b_n< ...< b1, \:finite plus:
\left( {a_1+... +a_n }\right) \cdot \left( \frac{1}{a_1} +... +\frac{1}{a_n})\right)\geq\\\;\\\geq n^2 ;\\\;\\
(\forall)a_i\in\R_+^*\;;\; i= \overline {1,n},\; n\in\N^*[the_ad_group id=”103″]
Alte inegalități cunoscute:
8.
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2} < 2\;;
(\forall)n\in\N^* 9.
\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2} < 1-\frac{1}{n} ;\\\:\\
(\forall)n\in\N, n\geq210.
\sqrt[]{n} <1 +\frac{1}{\sqrt[]{2}}+...+\frac{1}{\sqrt[]{n}} <\\\:\\< 2 \cdot \sqrt[]{n+1}-2\;;
(\forall)n\in\N\;,\;n\geq211.
\frac{1}{2 \cdot\sqrt[]{n}} < \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{2\cdot n-1}{2 \cdot n} < \frac{1}{\sqrt[]{2\cdot n}};\\ \;\\
(\forall)n\in\N^* 12.
\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{9}\cdot...\cdot\frac{4\cdot n-1}{4 \cdot n+1} < {\sqrt[]{\frac{3}{4\cdot n+3}}}\;;\\\;\\
(\forall)n\in\N^* 13.
\left(1 + \frac{1}{n}\right) ^n < 3\;;(\forall)n\in\N^*14.
\sqrt[n+1]{n+1} < \sqrt[n]{n} \;; (\forall)n\in\N , n\geq315.
\sqrt[n]{n+1} < \sqrt[n-1]{n} \;; (\forall)n\in\N , n\geq316.
\sqrt[]{n} < \sqrt[n]{n!} \;; (\forall)n\in\N , n\geq317.
n!\leq \left( \frac{n+1}{2}\right) ^n \;;\; (\forall)n\in\N^* 18.
n! <2^{ \frac{n\cdot(n-1)}{2} } \;; (\forall)n\in\N , n\geq319.
2^{n-1} < n! \;; (\forall)n\in\N , n\geq320.
n^3 <2^{ n} \;; (\forall)n\in\N , n\geq1021.
\frac {a^n+b^n}{2} \geq\left(\frac {a+b}{2}\right)^n \;; \\\;\\(\forall)a, b\in\R_+^*,\; (\forall)n\in\N^*Cazuri particulare:
n=2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\2\cdot(a^2+b^2) \geq\left( {a+b}\right)^2 \;; (\forall)a, b\in\R_+^*n=3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\4\cdot(a^3+b^3) \geq\left( {a+b}\right)^3 \;; (\forall)a, b\in\R_+^*n=4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\8\cdot(a^4+b^4) \geq\left( {a+b}\right)^4 \;; (\forall)a, b\in\R_+^*22.
a^2+b^2 \geq2\cdot a\cdot b ;(∀)a,b∈\R
23.
a^2+b^2 +c^2\geq \;\\\;\\ \geq a\cdot b\; +b\cdot c\; +\;c\cdot a\;;(∀)a,b,c∈\R
24.
a^3+b^3 +c^3 > 3\cdot a\cdot b\cdot c\;; \\\;\\\;(∀)a,b,c∈\R
25.
a+b \geq2\cdot \sqrt []{a\cdot b}\; ;\;(∀)a,b∈\R_+ 26.
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq2\;;\;(∀)a,b∈\R, a\cdot b > 0caz particular:
a + \frac{1}{a} \geq2\;;\;(∀)a∈\R_+27.
\frac{|a+b|}{1+|a+b|}\leq\frac{|a|}{1+|a|} +\frac{|b|}{1+|b|};\;\\\;\\(∀)a,b∈\R28.
\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a} + \sqrt{b};\;(∀)a,b∈\R_+29.
\sqrt{a\cdot b} + \sqrt{c\cdot d}\leq\sqrt{(a+c)\cdot(b+d)} ;\;\\\;\\(∀)a,b,c,d∈\R_+^*[the_ad_group id=”102″]
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