Matematică

Inegalități cunoscute – 29 de relații importante

Anca

Găsiți mai jos cele mai cunoscute inegalități necesare pentru rezolvarea rapidă a multor probleme.

1. Inegalitatea mediilor:

Media aritmetică, media geometrică, media armonică poartă numele de medii pitagoreice, mai multe despre aceste medii pe care și când le folosim găsiți aici.

n1a1+1a2+...+1an≤  ≤a1⋅a2⋅...⋅ann≤  ≤a1+a2+...+ann≤  ≤a12+a22+...+an2n  ;  (∀)ai∈R+∗  ,  i=1,n‾,  n∈N∗\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}\leq \\\;\\ \leq\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot ... \cdot a_{n}}\leq \\\;\\ \leq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\leq \\\;\\ \leq \sqrt\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}\;; \\\;\\(\forall)a_i\in\R^*_+\;,\; i= \overline {1,n},\; n\in\N^*

Media armonică este mai mică decât media geometrică, ce este la rândul ei mai mică decât media aritmetică, care este mai mică decât media pătratică.

2. Consecință a inegalității mediilor:
n2≤(a1+...+an)⋅(1a1+...+1an);  (∀)ai∈R+∗  ;  i=1,n‾,  n∈N∗n^2\leq \left(a_1+...+a_n \right) \cdot \left( \frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}\right) ;\\\;\\ (\forall)a_i\in\R_+^*\;;\; i= \overline {1,n},\; n\in\N^*
3. Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz:
(a1⋅b1+a2⋅b2+...+an⋅bn)2≤  ≤(a12+...+an2)⋅(b12+...+bn2);    (∀)ai,bi∈R,  i=1,n‾,  n∈N∗(a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+...+a_{n}\cdot b_{n})^2\leq\\\;\\\leq(a_{1}^2+...+a_{n}^2)\cdot(b_{1}^2+...+ b_{n}^2);\\\;\\\;(\forall)a_i, b_i\in\R,\; i= \overline {1,n}, \;n\in\N^*

Un exemplu găsiți în această problemă.

[the_ad_group id=”104″]

4. Inegalitățile Bernoulli:
(1+a)r≥1+r⋅a  ;    (∀)a∈R,a≥−1,(∀)r∈R,r≥1.  sau  (1+a)r≤1+r⋅a  ;    (∀)a∈R,a≥−1,(∀)r∈R,0≤r≤1(1 +a)^r \geq 1 + r \cdot a\;; \;\\\;\\(\forall)a\in\R, a \geq-1,(\forall)r\in\R, r\geq1. \\\;\\sau\\\;\\(1 +a)^r \leq 1 + r \cdot a\;; \;\\\;\\(\forall)a\in\R, a \geq-1,(\forall)r\in\R, 0\leq r\leq1

valabilă și pentru r număr natural:

(1+a)n≥1+n⋅a  ;    (∀)a∈R,a≥−1,(∀)n∈N  caz  particular:  a=1  ⟹  2n≥1+n(1 +a)^n \geq 1 + n \cdot a\;; \;\\\;\\(\forall)a\in\R, a \geq-1,(\forall)n\in\N\\\;\\caz\; particular:\\ \;a=1\implies 2^n\geq1+n

plus:

(1+a1)⋅(1+a2)⋅...⋅(1+an)≥  ≥1+a1+a2+...+an  ;  (∀)ai∈R,ai≥−1(∀)i  ;  i=1,n‾(1+a_1)\cdot(1+a_2)\cdot...\cdot(1+a_n) \geq \\\;\\ \geq1+a_1+a_2+...+a_n \; ; \\\;\\ (\forall)a_i\in\R, a_i \geq-1(\forall)i\;;\; i= \overline {1,n}
5. Inegalitățile Hölder pentru sume finite:

pentru p > 1:

∣a1⋅b1∣+...+∣an⋅bn∣≤  ≤(∣a1∣p+...+∣an∣pp)⋅  ⋅(∣b1∣q+...+∣bn∣qq);  (∀)ai,bi∈R,  i=1,n‾,  1<p,q<∞,  a.ı^.  1p+1q=1|a_1\cdot b_1|+...+|a_n\cdot b_n|\leq\\\;\\\leq \left(\sqrt[p] {|a_1|^p+...+|a_n|^p}\right)\cdot\\\;\\\cdot\left(\sqrt[q] {|b_1|^q+...+|b_n|^q}\right); \\\;\\(\forall)a_i, b_i\in\R,\; i= \overline {1,n}, \\\;\\1 < p,q < \infty, \; a.î.\;\frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1

pentru 0 < p < 1:

∣a1⋅b1∣+...+∣an⋅bn∣≥  ≥(∣a1∣p+...+∣an∣pp)⋅  ⋅(∣b1∣q+...+∣bn∣qq);  (∀)ai∈R,  (∀)bi∈R∗,  i=1,n‾,  0<p<1,  și  1p+1q=1|a_1\cdot b_1|+...+|a_n\cdot b_n|\geq\\\;\\\geq \left(\sqrt[p] {|a_1|^p+...+|a_n|^p}\right)\cdot\\\;\\\cdot\left(\sqrt[q] {|b_1|^q+...+|b_n|^q}\right); \\\;\\(\forall)a_i \in\R,\; (\forall)b_i \in\R^*,\\\;\\i= \overline {1,n},\; 0 < p < 1, \; și\\\;\\\frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1

Inegalitatea se transformă în egalitate dacă:

∣ai∣p=γ⋅∣bi∣q  ;γ∈R+,(∀)i=1,n‾|a_i|^p=\gamma\cdot|b_i|^q\;; \gamma\in\R_+ ,(\forall)i =\overline {1,n}

Articolul continuă pe pagina următoare

Pages: 1 2

Pe aceeași temă

Transformarea gradelor în radiani.
Matematică

Transformarea gradelor în radiani

Anca
Matematică

Partea întreagă și partea fracționară a unui număr real

Anca