Găsiți mai jos cele mai cunoscute inegalități necesare pentru rezolvarea rapidă a multor probleme.
1. Inegalitatea mediilor:
Media aritmetică, media geometrică, media armonică poartă numele de medii pitagoreice, mai multe despre aceste medii pe care și când le folosim găsiți aici.
\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}\leq \\\;\\ \leq\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot ... \cdot a_{n}}\leq \\\;\\ \leq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\leq \\\;\\ \leq \sqrt\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}\;; \\\;\\(\forall)a_i\in\R^*_+\;,\; i= \overline {1,n},\; n\in\N^*Media armonică este mai mică decât media geometrică, ce este la rândul ei mai mică decât media aritmetică, care este mai mică decât media pătratică.
2. Consecință a inegalității mediilor:
n^2\leq \left(a_1+...+a_n \right) \cdot \left( \frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}\right) ;\\\;\\
(\forall)a_i\in\R_+^*\;;\; i= \overline {1,n},\; n\in\N^*3. Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz:
(a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+...+a_{n}\cdot b_{n})^2\leq\\\;\\\leq(a_{1}^2+...+a_{n}^2)\cdot(b_{1}^2+...+ b_{n}^2);\\\;\\\;(\forall)a_i, b_i\in\R,\; i= \overline {1,n}, \;n\in\N^*Un exemplu găsiți în această problemă.
[the_ad_group id=”104″]
4. Inegalitățile Bernoulli:
(1 +a)^r \geq 1 + r \cdot a\;; \;\\\;\\(\forall)a\in\R, a \geq-1,(\forall)r\in\R, r\geq1. \\\;\\sau\\\;\\(1 +a)^r \leq 1 + r \cdot a\;; \;\\\;\\(\forall)a\in\R, a \geq-1,(\forall)r\in\R, 0\leq r\leq1
valabilă și pentru r număr natural:
(1 +a)^n \geq 1 + n \cdot a\;; \;\\\;\\(\forall)a\in\R, a \geq-1,(\forall)n\in\N\\\;\\caz\; particular:\\ \;a=1\implies 2^n\geq1+n
plus:
(1+a_1)\cdot(1+a_2)\cdot...\cdot(1+a_n) \geq \\\;\\
\geq1+a_1+a_2+...+a_n \; ; \\\;\\ (\forall)a_i\in\R, a_i \geq-1(\forall)i\;;\; i= \overline {1,n}5. Inegalitățile Hölder pentru sume finite:
pentru p > 1:
|a_1\cdot b_1|+...+|a_n\cdot b_n|\leq\\\;\\\leq \left(\sqrt[p] {|a_1|^p+...+|a_n|^p}\right)\cdot\\\;\\\cdot\left(\sqrt[q] {|b_1|^q+...+|b_n|^q}\right); \\\;\\(\forall)a_i, b_i\in\R,\; i= \overline {1,n}, \\\;\\1 < p,q < \infty, \; a.î.\;\frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1pentru 0 < p < 1:
|a_1\cdot b_1|+...+|a_n\cdot b_n|\geq\\\;\\\geq \left(\sqrt[p] {|a_1|^p+...+|a_n|^p}\right)\cdot\\\;\\\cdot\left(\sqrt[q] {|b_1|^q+...+|b_n|^q}\right); \\\;\\(\forall)a_i \in\R,\; (\forall)b_i \in\R^*,\\\;\\i= \overline {1,n},\; 0 < p < 1, \; și\\\;\\\frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1 Inegalitatea se transformă în egalitate dacă:
|a_i|^p=\gamma\cdot|b_i|^q\;; \gamma\in\R_+ ,(\forall)i =\overline {1,n}Articolul continuă pe pagina următoare
Pages: 1 2
