Problema #1 – proprietățile liniei mijlocii în triunghi

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, având AB = 12 cm, BC = 20 cm și măsura unghiului ABC egală cu 60°. Notăm cu M, N, P mijloacele segmentelor AB, AC, respectiv BC şi cu D piciorul înălțimii din A.

a) Arată că MD = NP = 6 cm.

b) Determină perimetrul patrulaterului MNPD.

Demonstrație punctul a:

  • deoarece N și P sunt mijloacele laturilor AC, respectiv BC, NP va fi linie mijlocie în raport cu AB deci va fi egală cu jumătate din AB și paralelă cu AB.
NP=AB2    NP=122    NP=6NP = \frac{AB}{2} \implies NP = \frac{12}{2} \implies NP = 6
NPAB NP {\parallel }AB
  • deoarece triunghiul BDA este triunghi dreptunghic și MD este mediană în triunghiul dreptunghic MD, va fi jumătate din AB.
MD=AB2    MD=122    MD=6MD = \frac{AB}{2} \implies MD = \frac{12 }{2} \implies MD=6

De aici rezultă că

MD=NP=6cmMD = NP = 6 cm

Demonstrație punctul b:

MD=MB    MBDisoscelși(MBD)=60deciMBD  este  echilateralMD = MB \implies \vartriangle MBD \vartriangle isoscel \\ și \\\measuredangle (MBD) = 60 ^{\circ} \\ deci \vartriangle MBD \; este \; \vartriangle echilateral
  • deoarece N și M sunt mijloacele laturilor AC respectiv AB, NM va fi linie mijlocie in triunghi, deci va fi egală cu jumătate din BC și paralelă cu BC.
NM=BC2    NM=202    NM=10NM = \frac{BC}{2} \implies NM = \frac{20}{2} \implies NM = 10
NMBC NM {\parallel }BC

Pentru a calcula perimetrul lui DPNM mai trebuie să calculăm lungimea segmentului DP. Acesta se poate calcula în mai multe moduri.

  • O soluție ar putea fi să ducem perpendiculara din P pe MN și să notăm cu F punctul de intersecție. De asemenea vom nota cu E intersecția lui AD cu MN, ca în figura de mai jos:

Știm că:

NMBCADBC      ADMN NM {\parallel }BC \\ AD\perp BC\\ \implies \; AD\perp MN
  PFMN  (din  construcție)DEMN      FPDE  dar  NM  BCFPDE  paralelogram  cu  un  unghi  drept    FPDE  dreptunghi\;PF\perp MN\;(din \;construcție)\\DE {\perp}MN \\ \implies\; FP\parallel DE\;dar\;NM\; {\parallel }BC \\⟹FPDE \;paralelogram\;cu\; un\; unghi\; drept \\ \implies FPDE \;dreptunghi
      DP=EF  și  ED=FP\implies\; DP = EF \;și\; ED =FP
La  punctul  a)  am  demonstrat  ca˘  MD=NP,știm  ca˘  ED=FP      MDENPF(triunghiuri  dreptunghice)    ME=FNLa\;punctul\;a)\;am\;demonstrat\;că\;MD = NP, \\ știm\; că\;ED=FP \\ \; \\\implies △MDE {\displaystyle \equiv }△NPF (triunghiuri\;dreptunghice) \\ \implies ME =FN

ME este de asemenea linie mijlocie în triunghiul ADB

ME=BD2  BD=6(MBD  echilateral)      ME=62    ME=3ME= \frac{BD}{2} \\ \; \\BD=6 ( \vartriangle MBD\;echilateral) \\ \; \\\implies ME= \frac{6}{2}\implies ME = 3
ME=FN=3darEF=MNMEFN    EF=1033    EF=4ME = FN = 3 \\ dar\\ EF =MN - ME -FN \implies EF = 10-3-3\\ \implies EF = 4
EF=DP    DP=4EF =DP \implies DP = 4

Perimetrul va fi:

MD+DP+PN+NM=6+4+6+10=26MD + DP +PN+NM = 6+ 4 + 6+10 = 26
  • O altă soluție pentru a calcula lungimea segmentului DP ar putea fi să facem diferența între lungimea segmentului BP și lungimea lui BD.
BP=PC  BC=20    BP=BC2    BP=202=10BP=PC\\ \;\\BC =20 \implies BP=\frac{BC}{2}\implies BP = \frac{20}{2} = 10
MBD  echilateral    BD=6 \vartriangle MBD\;echilateral \\ \implies BD = 6
DP=BPBD    DP=106    DP=4DP = BP -BD \implies DP = 10-6\\\implies DP =4

Perimetrul va fi, la fel ca mai sus:

MD+DP+PN+NM=6+4+6+10=26MD + DP +PN+NM = 6+ 4 + 6+10 = 26

Pe aceeași temă