În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, având AB = 12 cm, BC = 20 cm și măsura unghiului ABC egală cu 60°. Notăm cu M, N, P mijloacele segmentelor AB, AC, respectiv BC şi cu D piciorul înălțimii din A.
a) Arată că MD = NP = 6 cm.
b) Determină perimetrul patrulaterului MNPD.
Demonstrație punctul a:
- deoarece N și P sunt mijloacele laturilor AC, respectiv BC, NP va fi linie mijlocie în raport cu AB deci va fi egală cu jumătate din AB și paralelă cu AB.
- deoarece triunghiul BDA este triunghi dreptunghic și MD este mediană în triunghiul dreptunghic MD, va fi jumătate din AB.
De aici rezultă că
Demonstrație punctul b:
- deoarece N și M sunt mijloacele laturilor AC respectiv AB, NM va fi linie mijlocie in triunghi, deci va fi egală cu jumătate din BC și paralelă cu BC.
Pentru a calcula perimetrul lui DPNM mai trebuie să calculăm lungimea segmentului DP. Acesta se poate calcula în mai multe moduri.
- O soluție ar putea fi să ducem perpendiculara din P pe MN și să notăm cu F punctul de intersecție. De asemenea vom nota cu E intersecția lui AD cu MN, ca în figura de mai jos:
Știm că:
ME este de asemenea linie mijlocie în triunghiul ADB
Perimetrul va fi:
- O altă soluție pentru a calcula lungimea segmentului DP ar putea fi să facem diferența între lungimea segmentului BP și lungimea lui BD.
Perimetrul va fi, la fel ca mai sus:
