Suma lui Gauss – formulă, demonstrație, exemple

Suma lui Gauss este formula pentru calculul sumei primelor numere naturale.

\boldsymbol{1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}}

Demonstrația formulei sumei lui Gauss

În clipul de mai jos, Ruxandra ne explică felul în care Carl Friedrich Gauss a ajuns la această formulă și ne arată două moduri în care relația poate fi demonstrată.

Suma primelor numere pare, suma primelor numere impare

Două sume pe care le întâlnim des și care pot fi calculate cu formula lui Gauss sunt suma primelor numere pare și suma primelor numere impare.

SP = 2 + 4 + 6+ 8 + ... + 2n\\
SI = 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1

Pe SP îl aflăm destul de ușor, dacă observăm că, dându-l pe 2 factor comun, obținem:

SP = 2  (1+2+3+...+n)\\
SP = 2\frac{n(n+1)}{2}\\
\boldsymbol{SP = n(n+1)}

De exemplu, suma primelor 50 de numere pare va fi:

n=50 \implies SP=2+4+6+...+100\\
SP = 2(1+2+3+...+50) \\
SP = 2*\frac{50*51}{2} = 50*51=2550

Pentru suma imparelor vă spun două metode și o alegeți voi pe cea care vă place mai mult.

Metoda I

Știm că suma lui Gauss este suma unui șir de numere consecutive, deci putem considera:

S = 1+2+3+...+2n = \frac{2n*(2n+1)}{2}=n*(2n+1)

Aceasta este suma numerelor pare și impare până la 2n. Poate deci fi scrisă și ca:

S = 2+4+...+2n + \\+1+3+5+...+2n-1

Se vede ușor că aceasta este suma numerelor pare (SP), calculată mai sus, plus suma numerelor impare (SI), cea pe care vrem să o aflăm.

S = SP + SI\\
n*(2n+1) = n*(n+1) + SI\\
SI = n*(2n+1)-n*(n+1)

Dăm pe n factor comun și obținem:

SI = n * (2n+1-n-1)\\
SI = n * n = n^2 \\
\boldsymbol{SI=n^2}

Metoda II

Putem considera fiecare număr impar ca fiind un număr par + 1.

SI = 0+1 + 2 +1 +4 + 1 + ... + \\+2n-2 + 1\\
SI = 1 + 1 + 1 + ... + 1 +\\+ 2 + 4 + 6 + ... + 2n - 2

De câte ori se adună 1? De n ori. Plus suma primelor n-1 numere pare.

SI = n + (n-1) * n = \\=n (1 + n - 1) = n^2

Exemple

De exemplu, suma primelor 50 de numere impare va fi:

n = 50 \implies SI = 1 + 3 + 5 + ... + 99\\
SI = 50 * 50 = 2500

Sumele cu termeni consecutivi în care primul termen nu este 1 reprezintă un alte exemplu de sume ce se pot reduce la suma lui Gauss:

SC = 40 + 41 +42 + ... + 100

Șmecheria aici este să aducem acești termeni la termeni ai unei sume Gauss. Și pentru asta, îi putem scrie pe 40 ca 39 + 1, 41 ca 39 + 2 și așa mai departe până la 100, pe care îl scriem ca 39 + 61. Deci SC devine:

SC = 39 + 1 + 39 + 2 + \\+39 + 3 + ... + 39 + 61

De câte ori apare 39? Exact de 61 de ori, deci suma devine:

SC = 39 * 61 + 1 + 2 + 3 + ... + 61\\
SC = 39 * 61+ \frac{61*62}{2}\\
SC = 39 * 61 + 61 * 31\\
SC = 61 * (39 + 31) \\
SC = 61 * (70)\\
SC = 4270

Un alt tip de sumă în calculul căreia e util să știm formula sumei lui Gauss este suma de multipli consecutivi ai aceluiași număr.

SM = 5 + 10 + 15 + ... + 200

Aici vedem că dacă îl dăm pe 5 factor comun avem:

SM = 5 * (1 + 2 + 3 + ... + 40)\\
SM = 5 * \frac{40*41}{2} \\
SM = 5 * 20 * 41 = 100 * 41 \\
SM = 4100